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MI-est 研究 勉強

law of large numbers の double sum version
\frac{1}{n^2}\sum_{i,j=1}^n f(X_i,Y_j),\,\, X_i\sim P,\,\, Y_j\sim Q\,\,\, (i.i.d.)
の挙動について、若干の考察をしました。

  • 実数値有界関数の集合 \{f(\cdot,y)~|~y\in{\cal Y}\} の VC dim が有限なら \int f(x,y) P(dx)Q(dy) に確率収束します。どちらかの変数を index と看倣して、Donsker class に入っていることが十分条件になります。
  • 少しきつい条件なので緩めたいです。大数の強法則のようなことまでは成立しないかもしれません。