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定理
  • 正準相関分析の計算に関連して、次の事実を使います。以下が成り立つことは、考えれば即座に分かることですが、いままで明確には認識していませんでした。

Let A be an n by m full rank matrix. Then, the rank of the (n+m) by (n+m) matrix
B=\begin{pmatrix}O & A \\ A^\top & O\end{pmatrix}
is equal to
(n+m)-\max\{n,m\}+\min\{n,m\}=2\min\{n,m\}.

  • 行列の基本変形を使えば証明できます。これから B の零固有値の重複度が分かります。