■ - 研究

LSIF と uLSIF の差のバウンドに関する証明を論文に追加しました。簡潔な証明にするために若干考えました。論文を共著者に送りました。
以下の内容は直感的に明らかで、証明も簡単です。

$a_{1},\ldots,a_{k} \in R^n,\text{ }a_i\geq 0\text{ }(i=1,\ldots,k),\text{ }H=\sum_{i=1}^{k} a_{i} a_{i}^{\small \top}\in R^{n\times n}.$
The cone generated by $a_{\tiny 1},\ldots,a_{\tiny k}$ includes the eigenvector of the largest eigenvalue of $H$ . Conversely, if an eigenvector of $H$ lies in the relative interior of the cone, the corresponding eigenvalue is the largest one of $H$ .
proof) Let $\lambda_1$ be the maximum eigne value of $H$ . Then,
$\lambda_1=\max_{||x||=1}x^\top H x=\max_{||x||=1}\sum_{i=1}^k (a_i^\top x)^2 = \max_{||x||=1,x\geq 0}\sum_{i=1}^k (a_i^\top x)^2,$
because
$a_i \geq 0\; i=1,\ldots,k$ .
Thus, there exists an eigen-vector $x$ of $\lambda_1$ which has only non-negative element. Moreover, $Hx=\lambda_1 x$ implies
$\sum_{i=1}^k a_i(a_i^\top x)/\lambda_1=x,\; a_i^\top x/\lambda_1\geq 0$
when $\lambda_1>0$ . Thus $x$ is included in the cone generated by $a_{\tiny 1},\ldots,a_{\tiny k}$ .
The proof of the converse part is clear