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• restricted LS model を定義し、関数の大小と集合の包含関係が consistent になるように定めることで、その model から induce される partial order を理解できたと思います。厳密な証明はまだです。
• Partial order を与えたとき、それが LS model で表現可能かどうかを判定するアルゴリズムも構成できたと思います。その際、いくつかの集合を包含関係の順にソートする必要があります。全順序が入らなければ、そのような restricted LS model は存在しない。全順序が入れば、パラメータに対する制約が包含関係から特定される。
• 集合族に対するソーティングは誰かが考えているでしょう。普通の quick sort と同じようにするのでしょうか?
• ともかく手を動かして、具体例でいろいろ考察しました。
• ranking において hinge loss による SVM を使うと、正しいモデルで推定してもバイアスが入ります。これは、reduction による ranking prediction で order を保とうとする代償です。L2-SVM や logistic-model だと、推定バイアスを消すことはできますがカーネル化した場合に計算が重くなり、解の sparsity が失われます。これは Bartlett and Tewari の trade-off between sparsity and density estimation から理解されます。悩ましい状況といえます。